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chap-2: Soit (E, ∥ · ∥) un espace vectoriel normé et A une partie compacte deE. Alors A est fermée et bornée.

chap-4: Soit E, F et G trois espaces vectoriels normés, soitf ∈ Lc(E, F ) et g ∈ Lc(F, G), alors g ◦ f ∈ Lc(E, G) et |||g ◦ f ||| ⩽ |||g||| · |||f |||.

chap-1 : Si la suite (un)n∈N converge dans E alors salimite est unique.

chap-2: une union quelconque d'ouverts est un ouvert,•une intersection finie d'ouverts est un ouvert,

chap-4: On note Lc(E, F ) l'espace vectoriel des applications li-néaires continues de E dans F . La norme subordonnée ||| · ||| est une norme sur Lc(E, F ), et donc (Lc(E, F ), ||| · |||) est un K-espace vectoriel normé.

chap 2- Soit (E, ∥ · ∥) un espace vectoriel normé de dimension finie. Alors les compacts sont exactement les fermés bornés

chap-2: Soit (E, ∥ · ∥) un espace vectoriel normé, A une partie compacte et Bune partie fermée de E. Alors B ⊂ A =⇒ B est compacte

chap-3: Si E est de dimension finie, alors toutes les normes sur E sont équivalentes

chap-4: Soit u : E −→ F linéaire, les assertions suivantes sontéquivalentes :(1) u est continue sur E,(2) ∃k ⩾ 0 : ∀x ∈ E, ∥u(x)∥F ⩽ k∥x∥E ,(3) u est lipschitzienne,(4) u est continue en 0E ,(5) u est bornée sur la sphère unité,(6) u est bornée sur la boule unité ouverte,(7) u est bornée sur la boule unité fermée.

chap-3: L'image d'un compact par une application continue est un compact

chap-1: La suite (un)n∈N converge vers ℓ dans E si et seulement si toute suiteextraite de la suite (un)n∈N converge vers ℓ dans E.

chap-3: Si deux applications continues coïncident sur une partie dense de E alors elles sont égales sur E

chap-4: Toute application linéaire de E de dimension finie à valeurs dans F (quelconque) est continue

chap-2: Soit (E, ∥·∥) un espace vectoriel normé, soit A une partie de E. A est une partie fermée de E si et seulement si quelle que soit la suite (an)n∈N d'éléments de A qui converge dans E, la limite est dans A.

chap-4: les normes N1 et N2 sont équivalentes <=> IdE : (E, N1) → (E, N2) et IdE : (E, N2) → (E, N1)sont continues

chap-3: Soit f : E → F . Les assertions suivantes sont équivalentes :1. f est continue de E dans F ,2. l'image réciproque de tout ouvert de F est un ouvert de E,3. l'image réciproque de tout fermé de F est un fermé de E.

chap-3: Toute application continue sur un compact est uniformémentcontinue sur ce compact

chap-3: Soit A une partie de E et f : A −→ F une application. Si f estuniformément continue sur A alors elle est continue sur A.

chap-2: équivalence de 1. x0 est un point adhérent à A,2. ∀r > 0, B(x0, r) ∩ A̸ = ∅,3. ∀r > 0, ∃a ∈ A : ∥a − x0∥ ⩽ r

chap-1: Si les normes N1 et N2 sont équivalentes sur E, toute suite convergentedans (E, N1) converge vers la même limite dans (E, N2)

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